Najverjetneje ste v vsakdanjem življenju stokrat naleteli na enostranske predmete - kot univerzalni simbol za recikliranje, ki ga najdete natisnjen na hrbtni strani aluminijastih pločevink in plastičnih steklenic.
Ta matematični predmet se imenuje Mobiusov trak. Očaralo je okoljevarstvenike, umetnike, inženirje, matematike in številne druge vse od njegovega odkritja leta 1858 Avgusta Möbiusa, nemškega matematika, ki je umrl pred 150 leti, 26. septembra 1868.
Möbius je enostranski trak odkril leta 1858, medtem ko je na univerzi v Leipzigu opravljal funkcijo katedre za astronomijo in višjo mehaniko. (Drug matematik z imenom Listing ga je dejansko opisal nekaj mesecev prej, vendar je svoje delo objavil šele leta 1861.) Zdi se, da je Möbius naletel na Möbiusov trak, ko je delal geometrijsko teorijo poliedrov, trdne figure, sestavljene iz konic, robov in ravnih obrazov .
Möbiusov trak lahko ustvarite tako, da vzamete trak papirja in mu dodate liho število polovičnih zvitkov, nato pa konce pritrdite nazaj skupaj, da tvorite zanko. Če vzamete svinčnik in narišete črto vzdolž središča traku, boste videli, da črta očitno poteka vzdolž obeh strani zanke.
Koncept enostranskega predmeta je navdihnil umetnike, kot je nizozemski grafični oblikovalec MC Escher, čigar lesorez „Möbius Strip II“ prikazuje rdeče mravlje, ki se plazijo ena za drugo po traku Möbius.
Trak Möbius ima več kot samo eno presenetljivo lastnost. Na primer, poskusite s škarjami in prerezati trak na polovico vzdolž črte, ki ste jo pravkar narisali. Morda boste presenečeni ugotovili, da vam ne preostaneta dva manjša enostranska traka Möbius, ampak namesto ene dolge dvostranske zanke. Če nimate koščka papirja, Escherjev lesorez "Möbius Strip I" pokaže, kaj se zgodi, ko je Möbiusov trak prerezan vzdolž njegove sredinske črte.
Medtem ko ima strip zagotovo vizualno privlačen, je bil njegov največji vpliv matematika, kjer je pripomogla k razvoju celotnega področja, imenovanega topologija.
Topolog proučuje lastnosti predmetov, ki se ohranijo, ko jih premikamo, upogibamo, raztegnemo ali zvijemo, ne da bi sekali ali lepljali dele. Na primer, zapleteni par ušesnih čepkov je v topološkem smislu enak neobdelanemu paru ušesnih čepkov, ker je za spreminjanje enega v drugega potrebno le premikanje, upogibanje in zvijanje. Za preoblikovanje med njimi ni potrebno rezanje ali lepljenje.
Drugi par predmetov, ki so topološko enaki, sta skodelica za kavo in krof. Ker imata oba predmeta samo eno luknjo, se lahko en deformira v drugega s samo raztezanjem in upogibanjem.
Skodelica se pretvori v krof. (Wikimedia Commons) Število lukenj v predmetu je lastnost, ki jo je mogoče spremeniti le z rezanjem ali lepljenjem. Ta lastnost - imenovana "rod" predmeta - nam omogoča, da rečemo, da sta par ušesnih čepkov in krof topološko različna, saj ima krof eno luknjo, medtem ko par ušesnih čepkov nima lukenj.
Na žalost imata Möbiusov trak in dvostranska zanka, kot tipična zapestna silikonska ogrinjala, obe imata eno luknjo, zato ta lastnost ne zadostuje, da bi ju lahko ločili - vsaj s stališča topologa.
Namesto tega se lastnost, ki razlikuje Möbiusov trak od dvostranske zanke, imenuje orientacija. Tako kot število lukenj se lahko orientacija predmeta spremeni le z rezanjem ali lepljenjem.
Predstavljajte si, da si napišete opombo na vidno površino in se nato sprehodite po tej površini. Površina je orientacijska, če lahko, ko se vrnete s sprehoda, opombo vedno preberete. Na neorigentirani površini se lahko vrnete s sprehoda in samo ugotovite, da so se besede, ki ste jih napisali, očitno spremenile v njihovo zrcalno sliko in jih je mogoče brati samo od desne proti levi. Na dvostranski zanki se bo beležka vedno brala od leve proti desni, ne glede na to, kam vas je vodila pot.
Ker je trak Möbius neorientacijski, medtem ko je dvostranska zanka usmerjena, to pomeni, da sta trak Möbius in dvostranska zanka topološko različna.
(Ustvaril David Gunderman) Ko se GIF zažene, so pike, navedene v smeri urinega kazalca, črne, modre in rdeče. Vendar lahko tridelno konfiguracijo okoli traku Möbius premaknemo tako, da je slika na isti lokaciji, vendar so barve pik, naštetih v smeri urinega kazalca, zdaj rdeče, modre in črne. Nekako se je konfiguracija prelila v svojo zrcalno sliko, toda vse, kar smo storili, je, da jo premikamo po površini. Ta transformacija ni mogoča na orientacijski površini, kot je dvostranska zanka.
Koncept orientacije ima pomembne posledice. Vzemite enantiomere. Te kemične spojine imajo enake kemijske strukture, razen ene ključne razlike: To so zrcalne slike drug drugega. Na primer, kemični L-metamfetamin je sestavina inhalatorjev hlapov Vicks. Njegova zrcalna slika, D-metamfetamin, je nezakonita droga razreda A. Če bi živeli v nerazstavljivem svetu, bi bile te kemikalije neločljive.
Odkritje Avgusta Möbiusa je odprlo nove načine za raziskovanje naravnega sveta. Študija topologije še naprej daje osupljive rezultate. Lani je na primer topologija znanstvenike pripeljala do odkrivanja čudnih novih stanj materije. Letošnja medalja Fields je bila najvišja čast pri matematiki, ki jo je prejel Akshay Venkatesh, matematik, ki je pomagal pri vključevanju topologije z drugimi področji, kot je teorija števil.
Ta članek je bil prvotno objavljen na pogovoru.
David Gunderman, dr. študent uporabne matematike na Univerzi v Koloradu in Richard Gunderman, kanclerski profesor medicine, liberalne umetnosti in filantropije, univerza v Indiani
