20. marca je ameriško-kanadski matematik Robert Langlands prejel Abelovo nagrado, s katero je proslavil življenjski dosežek v matematiki. Raziskava Langlands je pokazala, kako je mogoče pojme iz geometrije, algebre in analize združiti s skupno povezavo do pravih števil.
Ko bo norveški kralj maja podelil nagrado Langlandsom, bo počastil najnovejše v 2300-letnem prizadevanju za razumevanje osnovnih številk, verjetno največjega in najstarejšega nabora podatkov iz matematike. Kot matematik, ki je posvečen temu programu Langlands, me fascinira zgodovina pravih številk in kako nedavni predujmi izkimavajo njihove skrivnosti. Zakaj so že tisočletja očarali matematike?
Da bi preučevali primere, matematiki napenjajo cele številke skozi eno virtualno mrežo za drugo, dokler ne ostanejo samo praštevi. Ta postopek sejanja je v 1800-ih ustvaril mize milijonov prim. Današnjim računalnikom omogoča, da v manj kot sekundi najdejo več milijard primerov. Toda osnovna ideja sita se v 2000 letih ni spremenila.
"Preštevilčno število je tisto, ki se meri samo z enoto, " je zapisal matematik Euclid leta 300 pred našim štetjem. To pomeni, da pravih števil ni mogoče enakomerno deliti z nobenim manjšim številom, razen 1. Po dogovoru matematiki 1 ne štejejo kot prvo število. Euklid je dokazal neskončnost primerov - nadaljevali bodo večno - toda zgodovina kaže, da nam je Eratosten dal sito, da hitro naštejemo primere.
Tukaj je ideja o sito. Najprej izločite večkratnike 2, nato 3, nato 5, nato 7 - prve štiri primere. Če to storite z vsemi številkami od 2 do 100, bodo ostale samo preproste številke.
Sesanje večkratnikov 2, 3, 5 in 7 pušča samo primere med 1 in 100. (z dovoljenjem MH Weissman) Z osmimi stopnjami filtriranja lahko izoliramo primese do 400. S 168 filtrirnimi koraki lahko izoliramo praštevilke do 1 milijona. To je moč sita Eratosten.
**********
John Pell, angleški matematik, ki se je posvetil ustvarjanju tabel uporabnih števil. Motiviran je bil za reševanje starodavnih aritmetičnih problemov Diophantosa, pa tudi z osebnim iskanjem organizacije matematičnih resnic. Zahvaljujoč njegovim prizadevanjem so do začetka 1700-ih široko krožili primesi do 100.000. Do leta 1800 so neodvisni projekti našteli do 1 milijon.
Za avtomatizacijo dolgočasnih sejalnih korakov je nemški matematik Carl Friedrich Hindenburg z nastavljivimi drsniki uporabil nastavljive drsnike, da naenkrat iztisne večkratnike na celotni strani mize. Drugi nizkotehnološki, vendar učinkovit pristop je uporabil šablone za iskanje večkratnikov. Do sredine 1800-ih se je matematik Jakob Kulik lotil ambicioznega projekta, da bi našel vse primere do 100 milijonov.
Šablon, ki ga Kulik uporablja za sejanje večkratnikov 37. AÖAW, Nachlass Kulik ((avtor avtorice Denis Roegel, avtor) Ta "velik podatek" iz 1800-ih bi lahko služil le kot referenčna tabela, če se Carl Friedrich Gauss ne bi odločil, da bo sam analiziral primere. Gauss je oborožen s seznamom do 3 milijone primerov naenkrat začel šteti, eno „čiliado“ ali skupino 1.000 enot. Prešteval je primere do 1.000, nato prim. Med 1.000 in 2.000, nato med 2.000 in 3.000 in tako naprej.
Gauss je odkril, da so, kolikor je štel višje, primesi postopno redkejši v skladu z zakonom o "obratnem dnevniku". Gaussov zakon ne kaže natančno koliko primerov je, vendar daje precej dobro oceno. Na primer, njegov zakon napoveduje 72 primerov med 1.000.000 in 1.001.000. Pravilno šteje 75 primerov, približno 4-odstotna napaka.
Stoletje po Gaussovih prvih raziskovanjih je bil njegov zakon dokazan v „teoremih o največjem številu.“ Procentualna napaka se pri večjih in večjih razponih primerov približa ničli. Riemannova hipoteza, težava z milijon dolarjev nagrad, prav tako opisuje, kako natančna je Gaussova ocena v resnici.
Teorem o primarnem številu in Riemannova hipoteza prinašata pozornost in denar, vendar sta oba sledila prejšnji, manj glamurozni analizi podatkov.
.....
Danes naši nabori podatkov izhajajo iz računalniških programov in ne ročno izrezanih šablon, vendar matematiki še vedno najdejo nove vzorce v praštevilkah.
Razen 2 in 5 se vsa pretežna števila končajo v številki 1, 3, 7 ali 9. V 1800-ih je bilo dokazano, da so te možne zadnje številke enako pogoste. Z drugimi besedami, če pogledate na primere do milijona, se približno 25 odstotkov konča v 1, 25 odstotkov v 3, 25 odstotkov v 7, 25 odstotkov pa v 9.
Pred nekaj leti sta Stanordova teoretika številk Lemke Oliver in Kannan Soundararajan s petkami ujela strahove v zadnjih števkah primerov. V preizkusu so bili pregledani zadnja številka primera in zadnja številka prvega primera. Naslednja naslednja premija po 23. je na primer 29: Eden vidi 3 in nato 9 na zadnjih številkah. Ali med zadnjimi števkami praštevilk kdo med 3 in 9 pogosteje opazi 3 in 9?
Pogostost zadnjih številk med zaporednimi številkami do 100 milijonov. Ujemanje barv ustreza ujemajočim se vrzeli. (MH Weissman, CC BY) Teoretiki števila so pričakovali nekaj različic, toda to, kar so ugotovili, je precej preseglo pričakovanja. Primeri so ločeni z različnimi vrzeli; na primer, 23 je šest števil oddaljen od 29. Toda trije od 9-ih primerov, kot sta 23 in 29, so veliko pogostejši od 7-potem-3-ih, čeprav oba izvirata iz šestih razmikov.
Matematiki so kmalu našli verjetno razlago. Toda ko gre za preučevanje zaporednih primerov, so matematiki (večinoma) omejeni na analizo podatkov in prepričevanje. Dokazi - zlati standard matematikov za razlago, zakaj so stvari resnične - se zdijo desetletja daleč.
Ta članek je bil prvotno objavljen na pogovoru.
Martin H. Weissman, izredni profesor za matematiko, kalifornijska univerza v Santa Cruzu
